Onderzoek Jens Hemelaer

Abstract

Aan elke monoïde kunnen we een topos associëren, namelijk de topos van verzamelingen met een rechtse actie van deze monoïde. Binnen de filosofie van topossen als veralgemeende topologische ruimten, kunnen we nu vele meetkundige invarianten associëren aan de monoïde. Topossen hebben bijvoorbeeld punten, en voor topossen geassocieerd aan monoïden kan het uitrekenen van die punten tot verbazende resultaten leiden. Een eenvoudig voorbeeld is de monoïde van natuurlijke getallen verschillend van nul onder vermenigvuldiging. Alain Connes en Caterina Consani hebben aangetoond dat de punten van de geassocieerde topos (op isomorfie na) gegeven worden door een dubbel quotiënt waarin de eindige adeles voorkomen. Dan construeerden ze een structuurschoof op de topos, en ze toonden aan dat de combinatie van de topos en de structuurschoof, hun zogenaamde Arithmetic Site, gerelateerd is aan de aanpak van de Riemannhypothese via niet-commutatieve meetkunde. In dit onderzoeksproject zullen we een systematische studie ondernemen van topossen geassocieerd aan monoïden, vanuit een meetkundig perspectief. In bepaalde gevallen zullen we structuurschoven construeren op deze topossen, wat zal leiden tot veralgemeende Connes-Consani arithmetic sites.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Le Bruyn Lieven
• Mandaathouder: Hemelaer Jens

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

De Riemannhypothese zou een zeer precieze schatting geven van het aantal priemgetallen kleiner dan een zeker getal N. Veel wiskundige problemen zijn afhankelijk van dit soort schatting, aangezien priemgetallen aan de basis liggen van getaltheorie. Daarom wordt de Riemannhypothese gezien als één van de belangrijkste onopgeloste problemen in de wiskunde. André Weil, een beroemde wiskundige (en broer van filosoof Simone Weil) heeft in de jaren 40 een variant bewezen van de Riemannhypothese voor een specifieke klasse van veeltermen. Zijn bewijs was gerelateerd aan de meetkunde, in het bijzonder de studie van krommen. In een recente reeks papers hebben Alain Connes en Caterina Consani een strategie beschreven voor het oplossen van de Riemannhypothese, door hun 'Arithmetic Site' in te voeren en te bestuderen. Dit is een nieuw meetkundig model dat de verdeling van de priemgetallen beschrijft, ontworpen met behulp van hedendaagse wiskundige technieken. Dit model heeft eigenschappen die lijken op die van een kromme in de meetkunde. De hoop is dus dat uiteindelijk het bewijs van Weil vertaald kan worden naar een bewijs voor de originele Riemannhypothese. De tactiek van Connes en Consani baseert zich op de zogenaamde tropische meetkunde. Dit project focust zich daarentegen op de algebraïsche kant van het verhaal. In het bijzonder willen we hun werk relateren aan de studie van niet-commutatieve algebra's, een onderwerp waarvoor de Universiteit Antwerpen bekendstaat.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Le Bruyn Lieven
• Mandaathouder: Hemelaer Jens

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Tegenwoordig bestudeert meetkunde ingewikkelder vormen dan rechten, driehoeken enz. . Deze nieuwe vormen hebben meestal meer dan 3 dimensies, zijn gekromd en kunnen zeer gecompliceerd worden. Deze vormen worden gebruikt in fysica, controle theorie of ingenieurswetenschappen die allen ook sterk verandert zijn en complexere meetkundige technieken nodig hebben. In het huidige project willen we nog meer algemene meetkundige vormen invoeren en bestuderen. Hiervoor hebben we concepten uit de algebra nodig, zoals coordinaten en vergelijkingen, maar complexer en meer abstract. Meer precies zullen we 'ringen' bestuderen, dat zijn collecties van waarden die je kan optellen en vermenigvuldigen. Een zeer speciale soort van ringen zijn 'Azumaya algebras'. We moeten specifieke vragen beantwoorden over deze klasse van algebras om een beter inzicht te krijgen in de bijhorende meetkunde. De studie van Azumaya algebras (en meer algemene ringen) is op zichzelf interessant omdat ze voorkomen in diverse gebieden in de wiskunde en er nog vele onopgeloste vragen over zijn. Bovendien heeft het voorgestelde onderzoek mogelijke implicaties in fysica, in het bijzonder in string theorie. Voor een string theorist zijn de kleinst mogelijke bouwstenen vibrerende strings. Eindpunten van deze strings worden D-branes genoemd en het beschrijven van de bijhorende meetkunde, en het begrijpen van processen zoals Higg-sing en de-Higg-sing (of symmetrie breking) van D-branes, is het hoofddoel van dit onderzoek.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Le Bruyn Lieven
• Mandaathouder: Hemelaer Jens

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Tegenwoordig bestudeert meetkunde ingewikkelder vormen dan rechten, driehoeken enz. . Deze nieuwe vormen hebben meestal meer dan 3 dimensies, zijn gekromd en kunnen zeer gecompliceerd worden. Deze vormen worden gebruikt in fysica, controle theorie of ingenieurswetenschappen die allen ook sterk verandert zijn en complexere meetkundige technieken nodig hebben. In het huidige project willen we nog meer algemene meetkundige vormen invoeren en bestuderen. Hiervoor hebben we concepten uit de algebra nodig, zoals coordinaten en vergelijkingen, maar complexer en meer abstract. Meer precies zullen we 'ringen' bestuderen, dat zijn collecties van waarden die je kan optellen en vermenigvuldigen. Een zeer speciale soort van ringen zijn 'Azumaya algebras'. We moeten specifieke vragen beantwoorden over deze klasse van algebras om een beter inzicht te krijgen in de bijhorende meetkunde. De studie van Azumaya algebras (en meer algemene ringen) is op zichzelf interessant omdat ze voorkomen in diverse gebieden in de wiskunde en er nog vele onopgeloste vragen over zijn. Bovendien heeft het voorgestelde onderzoek mogelijke implicaties in fysica, in het bijzonder in string theorie. Voor een string theorist zijn de kleinst mogelijke bouwstenen vibrerende strings. Eindpunten van deze strings worden D-branes genoemd en het beschrijven van de bijhorende meetkunde, en het begrijpen van processen zoals Higg-sing en de-Higg-sing (of symmetrie breking) van D-branes, is het hoofddoel van dit onderzoek.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Le Bruyn Lieven
• Mandaathouder: Hemelaer Jens

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject