Approach structures in probability theory

Datum: 9 mei 2014

Locatie: UAntwerpen - Campus Middelheim - Lokaal G0.10 - Groenenborgerlaan 171 - 2020 Antwerpen

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Ben Berckmoes

Promotor: Prof. dr. Bob Lowen

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Ben Berckmoes - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Approach ruimten werden in 1989 ingevoerd door R. Lowen als een unificatie van metrische ruimten en topologische ruimten. In plaats van eigenschappen van een ruimte te kwantificeren met een metriek, wordt een approach ruimte bepaald door aan ieder punt in de ruimte een specifieke collectie van lokale afstanden toe te kennen. Dit levert een structuur op die, zoals in het geval van metrische ruimten, ons toelaat te werken met welbekende kwantitatieve concepten zoals asymptotische straal en centrum en Hausdorff maat van niet-compactheid.

De structurele flexibiliteit van approach theorie impliceert het bestaan van canonieke approach ruimten in takken van de wiskundige analyse zoals functionaalanalyse, hyperruimtetheorie, domeintheorie en kanstheorie. Een zorgvuldige studie van deze approach ruimten heeft geresulteerd in nieuwe inzichten en toepassingen in deze takken. Dit werk handelt over het onderzoek dat tot doel heeft approach structuren in te voeren en toe te passen in de kanstheorie, meer bepaald in het gebied van limietstellingen voor toevalsveranderlijken. Het is als volgt opgebouwd.

In het eerste hoofdstuk geven we een motivatie voor de studie van approach ruimten vanuit het standpunt van de kanstheorie, gevolgd door een korte inleiding van dat gedeelte van approach theorie dat nuttig is voor de toepassingen in kanstheorie. De concepten asymptotische straal en centrum zijn verwant met wat we de `limietoperator' noemen en de Hausdorff maat van niet-compactheid met de `compactheidsindex'.

De directe convolutiemethode van Bergström, een instrument om normale benaderingen te analyseren, vormt een bron van inspiratie om in het tweede hoofdstuk een specifieke approach structuur in te voeren op de verzameling van de kansverdelingen op de reële as. We noemen deze de continuïteits approach structuur. We onderzoeken haar basiseigenschappen, tonen aan hoe ze verwant is met de geparametriseerde Lévy metrieken en de Kolmogorov metriek, geven verschillende formules voor haar limietoperator en bekomen een algemene Stelling van Prokhorov die haar compactheidsindex in relatie brengt met een natuurlijke index die het concept tightness kwantificeert.

In het derde hoofdstuk passen we de inzichten verworven door de studie van de continuïteits approach structuur toe op normale benaderingen. We bekomen kwantitatieve centrale limietstellingen door gebruik te maken van de methode van Stein. In de laatste sectie bespreken we hoe onze resultaten gedeeltelijk kunnen worden overgedragen naar het multivariate geval.

Tot slot komt een algemener kader aan bod in het vierde hoofdstuk. Meer bepaald introduceren we de zwakke approach structuur op de collectie van Borel kansmaten op een separabele metrische ruimte. We bepalen haar basiseigenschappen, linken haar aan de geparametriseerde Prokhorov metrieken en de totale variatie metriek, bekomen verschillende formules voor haar limietoperator die een kwantitatieve Portmanteaustelling induceren, vergelijken haar met de continuïteits approach structuur en onderzoeken haar compactheidsindex.