Multigrid methoden voor golfverstrooiingsproblemen beschreven door de Helmholtz en Schrödinger vergelijking.

Datum: 22 mei 2015

Locatie: UAntwerpen - Campus Middelheim - Aula Jan Fabre (G.010) - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen

Tijdstip: 16 uur

Promovendus: Siegfried Cools

Promotor: Wim Vanroose

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Siegfried Cools - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

De propagatie en verstrooiing van golven komen voor in een brede waaier van hedendaagse fysische en chemische toepassingen waaronder akoestiek, elektromagnetisme en kwantum-mechanica. Het golfkarakter van verschillende soorten trillingen en stralingen wordt bovendien aangewend in moderne beeldvormingstechnieken. In seismologie en tomografie wordt informatie over het inwendige van een object (bijvoorbeeld de aardbodem of het menselijk lichaam) verkregen aan de hand van het verstrooiingspatroon van de golf op zekere afstand van dat object.

De numerieke simulatie van state-of-the-art golfproblemen in drie (of zelfs meer) ruimtelijke dimensies is een uitdagend wiskundig probleem, waarbij het ontwikkelen, analyseren en verbeteren van wiskundige methoden voor het oplossen van de tijdonafhankelijke Helmholtz- en Schrödingervergelijking een centrale rol speelt. De snelle convergentie van iteratieve methoden zoals methoden gebaseerd op Krylov deelruimten en multirooster methoden voor grote en hoogdimensionale problemen is in deze setting bijzonder bruikbaar.

Het onderzoek in dit proefschrift kadert in het streven naar snelle oplossingsmethoden voor indefiniete Helmholtz vergelijkingen, en het daaraan nauw verwante probleem van het efficiënt berekenen van de near en far field golfpatronen van de verstrooide golf op middellange en lange afstand van het object. Deze laatsten zijn in het bijzonder interessant voor toepassingen in het domein van inverse problemen zoals medische beeldvorming en seismologie.

De resultaten in deze studie zijn sterk geënt op de eigenschappen van het gedempte Helmholtz problem (complex shifted Laplacian), waarbij de discretisatie wordt gedefinieerd op een complexwaardig plaatsdomein. Dit complexwaardige probleem verschilt slechts weinig van het originele Helmholtz probleem, maar kan in tegenstelling tot dat laatste wel degelijk zeer snel en efficiënt worden geïnverteerd aan de hand van iteratieve methoden. Eén van de belangrijkste onderzoeksvragen in dit proefschrift betreft de toepasbaarheid van de gunstige eigenschappen van het gedempte Helmholtz probleem voor de efficiënte oplossing van het originele Helmholtz probleem, en de berekening van daarvan afgeleide golfpatronen zoals de far field map.

In 2013 reikte de jury van de 16de Copper Mountain Conference aan Siegfried Cools de jaarlijkse Student Paper Award uit voor het originele en innoverende onderzoek beschreven in de paper 'An efficient Multigrid calculation of the Far field map for Helmholtz problems', SIAM Journal on Scientific Computing, 36 (3): pp. B367-B395, July 2014.