Transvector algebras in harmonic analysis

Datum: 10 februari 2017

Locatie: UAntwerpen, Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 15 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Matthias Roels

Promotor: David Eelbode & Hendrik De Bie

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Matthias Roels - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Het onderwerp van deze thesis ligt op de kruising van verschillende domeinen binnen de wiskunde. Hoewel de initiële motivatie hiervoor uit de fysica komt, zijn de technieken die gebruikt werden om de onderzoeksvragen te beantwoorden afkomstig uit analyse, algebra en meetkunde. Cruciaal is de observatie dat fysische fenomenen (gerelateerd aan elementaire deeltjes of velden) vaak beschreven worden door vergelijkingen die uitgedrukt worden in termen van een differentiaaloperator. Een bekend voorbeeld, dat aan de basis ligt van deze thesis, is de Laplace-operator. Dit is een tweede-orde differentiaaloperator die opduikt in een waaier van problemen binnen de fysica en de ingenieurswetenschappen zoals bijvoorbeeld de bewegingen van planeten, warmtetransport, dynamica van vloeistoffen, de Maxwell-vergelijkgingen die elektromagnetisme beschrijven en zelfs kwantummechanica. Vanuit puur wiskundig standpunt ligt deze operator aan de basis van een heel vakgebied dat harmonische analyse genoemd wordt.

De Laplace-operator heeft bepaalde invariantie-eigenschappen die het best kunnen worden uitgelegd in termen van symmetrie. Dit wordt meestal gedaan door gebruik te maken van algebraïsche structuren zoals groepen en algebra’s. In het eerste deel van deze thesis hebben we ons gefocust op rotatie-invariantie van de Laplace-operator. We hebben aangetoond dat deze operator deel uitmaakt van een algebraïsche structuur die cruciaal is in de theorie van Howe dualiteit. In het bijzonder hebben we een nieuw soort symmetrie ontrafeld waarbij we gebruik hebben gemaakt van een zogenaamde transvector-algebra in plaats van een Lie-algebra. Dit heeft bepaalde voordelen, zoals uitgelegd werd in de thesis.

Belangrijk voor het tweede deel van deze thesis is de observatie dat de Laplace-operator niet alleen rotatie-invariant is, maar dat deze een voorbeeld is van een hele klasse van operatoren die conform invariant zijn. Het bestaan van deze operatoren volgt uit puur wiskundige overwegingen, maar deze operatoren duiken ook op in de moderne theoretische fysica als vergelijkingen die zogenaamde deeltjes met hogere spin beschrijven. In deze thesis hebben we ons beperkt tot een bepaalde familie van deze operatoren: de hogere spin Laplace-operatoren, waarvan de Laplace-operator het gemakkelijkste geval is (het geval met het kleinste spin getal). Hoewel de meeste van de resultaten zich beperken tot een bepaald geval, een zogenaamd ‘toy model’ waarvoor de berekeningen nog doenbaar zijn, hebben we waar mogelijk ook het meest algemene geval behandeld.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen