Connections between commutative and noncommutative algebraic geometry.

Datum: 9 juni 2017

Locatie: Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Pieter Belmans

Promotor: Wendy Lowen & Michel Van den Bergh

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging van de heer Pieter Belmans - Faculteit Wetenschappen - Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Dit doctoraat behandelt verschillende verbanden tussen commutatieve en niet-commutatieve algebraïsche meetkunde. Dit zijn abstracte gebieden in de fundamentele wiskunde, die al sinds de oudheid bestudeerd worden: algebraïsche meetkunde is oorspronkelijk ontstaan om (systemen van) veeltermvergelijkingen op te lossen, en de eigenschappen van die oplossingen te bestuderen. In niet-commutatieve algebraïsche meetkunde breiden we de mogelijke soorten van oplossingen uit, om zo een flexibeler framework te hebben waarin we meetkunde kunnen bedrijven. Met die toegenomen flexibiliteit komt echter ook een verhoogde complexiteit, waardoor er de nodige technische bagage vereist is om de resultaten te begrijpen.

De niet-commutatieve algebraïsche meetkunde waar er hier gewag van wordt gemaakt behelst verschillende incarnaties van het onderwerp: niet-commutatieve projectieve meetkunde à la Artin–Zhang, de studie van afgeleide categorieën van gladde projectieve variëteiten à la Bondal–Orlov, en uiteindelijk komt dit allemaal samen in de studie van (gladde en propere) dg categorieën à la Kontsevich. De verbanden die dan gelegd worden in deze thesis helpen ons om moeilijke objecten in niet-commutatieve algebraïsche meetkunde beter te begrijpen, door ze te bestuderen met technieken uit de commutatieve algebraïsche meetkunde die vertrouwder zijn.

In hoofdstuk 1 wordt een uitgebreide inleiding tot de "meetkunde van afgeleide categorieën" gegeven. Op deze manier wordt een van de belangrijkste thema's in deze thesis geïntroduceerd, door een overzicht van de literatuur te geven en telkens de link te leggen met de toepassingen zoals deze in de thesis voorkomen.

In hoofdstuk 2 wordt bestudeerd wanneer de afgeleide categorie van een eindigdimensionale algebra kan ingebed worden in de afgeleide categorie van een glad en projectief oppervlak. Omdat de afgeleide categorie van een kromme onontbindbaar is, is dit het eerste interessante geval, en er worden belangrijke obstructies gevonden voor het bestaan van zo'n inbedding.

In hoofdstuk 3 wordt een inbedding van de afgeleide categorie van een niet-commutatieve kwadriek in de afgeleide categorie van een deformatie van het hilbertschema van een kwadriek bestudeerd. Dit is een speciaal geval van een vermoeden van Orlov, en we bespreken ook een concrete infinitesimale versie van dit vermoeden. Op basis van dit vermoeden is het vervolgens interessant om de hochschildcohomologie van niet-commutatieve oppervlakken exact te kennen, en in hoofdstuk 4 rekenen we deze uit voor niet-commutatieve vlakken en kwadrieken.

Op basis van de numerieke classificatie van niet-commutatieve oppervlakken van rang 4 construeren we voorbeelden van alle mogelijke gevallen in hoofdstuk 5. Hier gebruiken we een alternatieve constructie van de blowup van een niet-commutatief oppervlak, die voorheen nog niet bestudeerd was. In hoofdstuk 6 vergelijken we vervolgens deze constructie in een speciaal geval met een eerdere constructie via niet-commutatieve P^1-bundels. Hiermee krijgen we een niet-commutatieve versie van het klassieke isomorfisme Bl_x P^2=F_1, dat echter geen deformatie is van dit commutatieve fenomeen.

In hoofdstuk 7 wordt de puntvariëteit van een scheve veeltermenringen berekend. Dit is een moduliruimte die belangrijke informatie over dit niet-commutatieve object bevat, en we zijn in staat om in arbitraire dimensie te beschrijven hoe deze eruitziet, en in voldoende lage dimensie geven we zelfs een volledige classificatie.

In hoofdstuk 8 wordt een niet-commutatieve versie van chowgroepen bestudeerd. Deze worden ingevoerd via tensorgetrianguleerde meetkunde, en er wordt aangetoond dat deze overeenkomen met invarianten die voorheen ad hoc werden geïntroduceerd.



Url: http://---