Convergence Analysis and Application of ADI Schemes for Partial Differential Equations from Financial Mathematics.

Datum: 26 juni 2017

Locatie: Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Maarten Wyns

Promotor: Karel in 't Hout

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Maarten Wyns - Faculteit Wetenchappen - Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

In de internationale financiële markten zijn opties producten die vaak verhandeld worden. Gevorderde wiskundige modellen worden gebruikt voor het bepalen van de eerlijke waarde van deze contracten. Dit leidt tot meerdimensionale tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijkingen (PDVen). Voor de meerderheid van deze PDVen is er geen analytische oplossing beschikbaar en dient men gebruik te maken van numerieke methoden om hun exacte oplossing te benaderen. De methode-der-lijnen is een welgekende en veelzijdige aanpak voor het bepalen van een numerieke oplossing. Hierbij discretiseert men eerst de plaatsvariabelen, hetgeen leidt tot een groot stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen. In een tweede stap wordt dit zogenaamde semidiscreet-systeem numeriek opgelost aan de hand van een geschikte impliciete tijdstapmethode. Indien de PDV meerdimensionaal is, dan kan deze tweede stap erg rekenintensief zijn bij het gebruik van klassieke impliciete tijdstapmethodes.

In dit proefschrift beschouwen we de convergentie en de toepassing van vier alternerende richting (Engels: direction) impliciete (ADI) schema's voor de numerieke oplossing van semidiscrete tweedimensionale convectie-diffusievergelijkingen. Meer bepaald onderzoeken we het Douglas schema, het Craig-Sneyd (CS) schema, het aangepaste (Engels: Modified) Craig-Sneyd (MCS) schema en het Hundsdorfer-Verwer (HV) schema. ADI schema's maken gebruik van een opsplitsing van het semidiscreet-systeem in de verschillende plaatsrichtingen. Dit kan zorgen voor een aanzienlijk computationeel voordeel in iedere tijdstap aangezien het makkelijker is om de suboperatoren achtereenvolgens impliciet te behandelen, in plaats van de gehele operator in één keer.

Onder enkele stabiliteits- en gladheidsaannames tonen we aan dat het (M)CS schema en het HV schema tweede-orde convergent zijn, uniform in de willekeurig kleine maaswijdte. Bij niet-gladde beginfuncties kan de toepassing van de ADI schema’s leiden tot foutieve oscillaties in de numerieke oplossing. Er wordt aangetoond dat door het toepassen van Rannacher tijdstappen, de klassieke orde van convergentie terug kan worden bekomen voor de vier ADI schema’s. Tenslotte introduceren we twee methoden voor de kalibratie van stochastische lokale volatiliteitsmodellen. De ADI schema’s dragen hierbij toe aan de snelheid, stabiliteit en accuraatheid van de kalibratieprocedures.



Url: http://---