Glider Representations

Datum: 6 juni 2018

Locatie: Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Frederik Caenepeel

Promotor: Wendy Lowen & Freddy Van Oystaeyen

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Frederik Caenepeel - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

In de wiskunde bestudeert men objecten van allerlei soort, zoals ringen, algebra's, Lie algebra's en groepen. Een manier om meer informatie te verkrijgen over zulke objecten is via representatietheorie, waarin men het brave gedrag van lineaire algebra gebruikt. Concreet gaat men aan elk element g van een object A een vierkante matrix M_g associëren. Dit geeft op zijn beurt aanleiding tot een afbeelding van het object A naar de verzameling van vierkante matrixen M_n(K) (voor vaste n en een vast lichaam K) en als deze afbeelding aan zekere condities voldoet, spreken we van een A-representatie of een A-moduul. Dit idee dateert reeds van het einde van de 19e eeuw met het werk van Frobenius en heeft sindsdien een enorme groei aan populariteit gekend.

De theorie van glider representaties combineert de ideeën van klassieke representatie theorie enerzijds en de theorie van gefilterde ringen anderzijds. Gegeven een gefilterde ring FR met deelring F_0R = S, dan wordt zo’n glider representatie gegeven door een dalende keten van S-modulen … <  M_i < … < M_2 < M_1 < M zodanig dat er F_iR-acties op M_j voor elke i kleiner of gelijk dan j bestaan met de extra conditie dat F_iRM_j < M_(j-i). De achterliggende gedachte is dat hoe dieper men afdaalt in de M-keten, hoe meer actie we van de grote ring R krijgen.

In het eerste deel van het doctoraat ontwikkelen we de algemene theorie from scratch. Geïnspireerd door de klassieke representatietheorie, voeren we begrippen in zoals deelgliders, irreducibiele gliders en eindig voortgebrachte gliders en worden er verschillende eigenschappen omtrent deze begrippen bewezen. Nadat we voldoende fundamenten gelegd hebben, wagen we ons aan het toepassen van de nieuwe theorie in allerlei bestaande wiskundige gebieden. We hebben ervoor gekozen een opsplitsing van de toepassingen te maken op basis van de filtraties waarover gewerkt wordt. In het tweede deel van de thesis bestuderen we zogenaamde ring- of algebra filtraties, waarin alle F_R in feite reeds ringen of algebra's zijn. Zulke filtraties komen op natuurlijke wijze voor in de theorie van groepen en Lie algebra's. In hoofdstuk 4 behandelen we de ingrediënten om een Clifford theorie uit te werken en in hoofdstuk 5 introduceren we een veralgemeende karaktertheorie voor glider representaties over eindige algebra filtraties van groepsalgebra's. Hoofdstuk 6 behandelt ketens van semisimpele Lie algebra's via de invoering van zogenaamde Verma gliders. In het derde deel van de thesis ten slotte bespreken we glider representaties voor standaard filtraties, i.e. filtraties die zijn voortgebracht door hun graad 1 gedeelte F_1R (F_nR = F_1R^n voor alle n). In hoofdstuk 7 vertrekken we vanuit de standaard filtraties op coördinaatringen en ontwikkelen we gefilterde localisatietheorie om te komen tot schoven van glider representaties op verscheidene topologische ruimten.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen