Special functions in higher spin settings

Datum: 13 juni 2018

Locatie: Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 15 uur

Promovendus: Tim Janssens

Promotor: David Eelbode

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Tim Janssens - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Wanneer men differentiaalvergelijkingen wil oplossen is er een belangrijk concept, namelijk  symmetrie, wat beschreven wordt door groepen (en bijhorende algebra's). Als een vergelijking invariant is onder de actie van een Lie-algebra, dan zal de oplossingenruimte van deze vergelijking een moduul vormen voor die Lie-algebra, wat ons dan in staat stelt om nieuwe oplossingen te genereren. Een andere manier om oplossingen te vinden is door de vergelijking te beschouwen in een ruimte met lagere dimensie, en deze oplossingen nadien te transformeren. Voorbeelden hiervan zijn de Cauchy-Kovalevskaya-extensie en de stelling van Fueter.

Een voorbeeld van een invariante operator is de Laplace-operator, die rotatie-invariant is. Meer zelfs, als men homogene polynomiale oplossingen voor deze operator beschouwd, dan zullen deze een irreducibele representatie vormen voor de rotatiegroep. Tussen al deze polynomiale oplossingen zijn er enkele die een speciale rol vervullen omdat zij extra symmetrie vertonen door bijvoorbeeld invariant te zijn onder de actie van een deelgroep van de rotatiegroep. Het volgende cruciale voorbeeld uit de klassieke harmonische analyse ligt aan de basis van deze thesis:

Op een vermenigvuldiging met een constante na, bestaat er voor elke graad van homogeniteit k, een unieke oplossing voor de Laplace-operator op R^m die enkel afhangt van het inproduct van de vector x met een vaste eenheidsvector en de norm van x.  Deze oplossing kan geschreven worden in functie van de klassieke Gegenbauer veeltermen.

Het belang van deze oplossingen valt niet te onderschatten, ze beschrijven immers het beeld van holomorfe functies f(z) onder de Fueter afbeelding. Bovendien kunnen de Gegenbauer harmonieken geconstrueerd worden d.m.v. de actie van een raising operator die ons in staat stelt om Appell reeksen te construeren.

In deze thesis veralgemenen we de speciale Gegenbauer-oplossingen van de Laplace-operator naar hogere spin Clifford-analyse, dwz. functies die afhangen van twee vectorveranderlijken. De speciale oplossingen die we vinden zijn gerelateerd aan functies op de (gëorienteerde) Grassmann manifold, wat ons dan weer naar een systeem van vergelijkingen geleid heeft: het wedge-systeem. Dit systeem komt ook op natuurlijke wijze voor als men de Cauchy-Kovalevskaya-extensie veralgemeend naar polynomen die afhangen van meerdere vectorveranderlijken.

De stelling van Fueter beschrijft een manier om monogene functies (oplossingen van de Dirac operator) te construeren door te vertrekken van holomorfe functies in het complexe vlak. We hebben een alternatief bewijs voor deze stelling geformuleerd wat ons in staat stelde om ook dit resultaat te veralgemenen.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen