Automatic regularization methods for inverse problems

Datum: 10 september 2018

Locatie: Campus Middelheim, G.010 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 14 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Nick Schenkels

Promotor: Wim Vanroose

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Nick Schenkels - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Wanneer een proces beschreven wordt aan de hand van een wiskundig model, dan hangt dit model vaak af van een aantal parameters. Als deze parameters gekend zijn, dan laat het model ons toe om de uitkomst van het proces te voorspellen. In verschillende toepassingen is men echter geïnteresseerd in het inverse probleem: vind de onbekende parameters terug die het model beheersen op basis van metingen van de uitkomst van het proces.

De moeilijkheid is het feit dat deze wiskundige modellen vaak niet zomaar te inverteren zijn en – zelfs als dit wel zo is – dat kleine meetfouten kunnen leiden tot grote fouten in de gereconstrueerde parameters. Om hiermee om te gaan zijn zogenaamde regularisatie methoden ontwikkeld, waarvan Tikhonov regularisatie een veelgebruikt voorbeeld is. Deze methode berust op de keuze van een regularisatie parameter die de balans bepaalt tussen het oplossen van het originele wiskundige probleem – dat slecht te inverteren is – en het opleggen van extra restricties waaraan de oplossing moet voldoen. Het spreekt vanzelf dat de keuze van de regularisatie parameter een groot effect heeft op de uiteindelijk gevonden oplossing en dus van cruciaal belang is.

Omdat het oplossen van het invers probleem voor een bepaalde regularisatie parameter vaak een significante computationele kost heeft, is het meestal niet efficiënt om enkele waarden ad hoc uit te proberen. Het doel van het onderzoek in deze thesis was dan ook om numerieke algoritmes te ontwikkelen die op een iteratieve manier zowel de oplossing van het inverse probleem vinden, alsook een goede waarde voor de regularisatie parameter. We zijn hiervoor begonnen met het bestuderen van de generalized Arnoldi-Tikhonov methode voor vierkante lineaire inverse problemen. Hierbij wordt in elke iteratie het updaten van de oplossing afgewisseld met een update voor regularisatie parameter op basis van een lineaire approximatie van de discrepantie curve in een laag-dimensionale Krylov ruimte.

In een eerste fase veralgemenen we het idee achter de generalized Arnoldi-Tikhonov methode naar algemene lineaire inverse problemen en naar niet-lineaire inverse problemen. Gebaseerd op gelijkaardige ideeën stellen we vervolgens in een tweede fase een stelsel op dat niet-lineair is in zowel de oplossing van het inverse probleem als de regularisatie parameter. We tonen dan aan dat het mogelijk is om beide waarden simultaan te updaten via een Newton algoritme met speciaal gekozen stapgrootte in elke iteratie.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen