Local-global principles for quadratic forms and strong linkage

Datum: 5 oktober 2018

Locatie: Campus Middelheim, G.005 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Parul Gupta

Promotor: Karim Johannes Becher, Arno Fehm

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Parul Gupta, Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Kwadratische vormen zijn homogene polynomen van graad twee. Eén van de hoofdproblemen bij de studie van kwadratische vormen over lichamen is om te bepalen of een gegeven kwadratische vorm isotroop is, d.w.z. of deze een niet-triviale oplossing heeft.

De stelling van Hasse-Minkowski zegt dat een kwadratische vorm over een globaal lichaam isotroop is als en slecht als hij isotroop is over alle completies ten opzichte van discrete valuaties en reële plaatsen. Dergelijke stellingen worden lokaal-globaal-principes of Hasse-principes genoemd.  Lokaal-globaal-principes impliceren vaak een bovengrens voor de u-invariant van een lichaam, die wordt gedefinieerd als het maximum van de dimensies van anisotrope kwadratische vormen.

Algebraïsche functielichamen (eindig voortgebrachte uitbreidingen van transcendentiegraad één) over een lichaam spelen een belangrijke rol in deze thesis. We bestuderen lokaal-globaal-principes voor isotropie van kwadratische vormen en hun mogelijke verfijningen over bepaalde algebraïsche functielichamen en de u-invarianten van dergelijke lichamen.

In 2012 werd aangetoond dat, voor algebraïsche functielichamen over een lichaam E met een niet-dyadische complete discrete valuatie, het lokaal-globaal-principe voor isotropie ten opzichte van de set van alle discrete valuaties geldt voor kwadratische vormen van dimensie ten minste drie.

In het geval waarin het residulichaam van E eindig is en oneven karakteristiek heeft, tonen we dat het lokaal-globaal-principe voor isotropie van kwadratische vormen van dimensie 4 geldt ten opzichte van discrete valuaties die triviaal zijn over E. Anderzijds bewijzen we dat, als het residulichaam van E algebraïsch gesloten is, dit soort verfijning niet mogelijk is.

We verkrijgen een nodige en voldoende voorwaarde opdat een lichaam u-invariant 8 heeft en we leggen, voor bepaalde lichamen met u-invariant 8, een verband met het lokaal-globaal-principe voor een specifieke klasse van kwadratische vormen.

We noemen een lichaam sterk gekoppeld als elk eindig aantal quaternionenalgebra’s een gemeenschappelijk slot heeft. Globale lichamen zijn sterk gekoppeld. We tonen dat algebraïsche functielichamen over een lichaam met een niet-dyadische complete discrete valuatie waarvoor het residulichaam algebraïsch gesloten is ook sterk gekoppeld zijn.

We verkrijgen gelijkaardige resultaten voor breukenlichamen van twee-dimensionale complete lokale domeinen in plaats van algebraïsche functielichamen.



Link: https://www.uantwerpen.be/wetenschappen