On the symplectic invariants of semitoric systems

Datum: 11 september 2019

Locatie: Campus Middelheim, G0.10 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 16 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde-Informatica

Promovendus: Jaume Alonso i Fernandez

Promotor: Sonja Hohloch

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Jaume Alonso i Fernandez - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde-Informatica



Abstract

Volledig integreerbare systemen zijn wiskundige modellen die systemen met meerdere behouden hoeveelheden beschrijven. Elke mogelijke toestand van het systeem komt overeen met een punt in de faseruimte. De tijdsevolutie van het systeem tekent een kromme in deze ruimte die beperkt is tot de gemeenschappelijke niveauverzamelingen van de behouden hoeveelheden. Daarom kunnen we meetkundige werktuigen gebruiken om dynamische resultaten te krijgen.

Dit werk focust op semitorische systemen, een specifiek soort volledig integreerbare systemen in vier dimensies, waarbij één van de behouden hoeveelheden een eigenlijke afbeelding is die een cirkelactie induceert. Verder vereisen we dat geen van de singulariteiten ontaard is of hyperbolische componenten heeft. Deze systemen komen in verschillende wetenschappelijke vakgebieden zoals kwantumscheikunde en kwantumoptiek voor. Bovendien kunnen ze ook interessante verschijnsels tonen, zoals monodromie, een obstructie aan het bestaan van globale actie-hoek-coördinaten gerelateerd aan de aanwezigheid van focus-focuspunten.

Semitorische systemen werden een paar jaren geleden symplectisch ingedeeld door middel van vijf symplectische invarianten. Het was helaas onduidelijk hoe deze invarianten in de praktijk konden worden berekend. In dit werk hebben we deze kwestie aangepakt door het bestuderen van drie families van semitorische systemen: de gekoppelde spin-oscillator, de gekoppelde impulsmomenten en een speciale familie van systemen die twee focus-focuspunten tegelijkertijd kunnen hebben. Door gebruik te maken van wiskundige software en van de eigenschappen van elliptische integralen hebben we verschillende methoden ontwikkeld om de symplectische invarianten te kunnen berekenen en hen zo symplectisch te kunnen indelen. Verder hebben we sommige bijkomende eigenschappen van deze families ontdekt, zoals superintegreerbaarheid op een specifieke niveauverzameling van de energie met verdwijnende draai, divergerende coëfficiënten van de Taylorreeksinvariant en bepaalde symmetrieën tussen de verschillende componenten van de invarianten.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen