Multivariate Financial Models and Partial Integro-Differential Equations for the Valuation of Financial Options

Datum: 17 december 2019

Locatie: Campus Middelheim, A.143 - Middelheimlaan 1 - 2020 Antwerpen (route: UAntwerpen, Campus Middelheim)

Tijdstip: 14 uur

Organisatie / co-organisatie: Departement Wiskunde

Promovendus: Lynn Boen

Promotor: Karel in 't Hout

Korte beschrijving: Doctoraatsverdediging Lynn Boen - Faculteit Wetenschappen, Departement Wiskunde



Abstract

Vanwege hun flexibiliteit, zijn opties op meerdere onderliggende goederen of rainbow opties populaire financiële producten, die sinds de opening van de Chicago Board Option Exchange (CBOE) in 1973 steeds meer worden verhandeld. Een optie is een zogenaamd financieel afgeleide, een contract waarvan de waarde afhangt van zijn onderliggende goederen. Het vinden van een eerlijke prijs voor dit type financieel contract is een centrale vraag binnen de financiële wiskunde. Black en Scholes waren de eerste die, onder ideale aannames op de prijs van het onderliggende, een tijdsafhankelijke partiële differentiaalvergelijking (PDE) opstelden waaraan de waarde van een Europese optie moet voldoen, alsook een half-gesloten analytische oplossing voor deze PDE. Deze bekende Black-Scholes formule werd gepubliceerd één maand na de opening van de CBOE, en zorgde mee voor een enorme stijging in het aantal verhandelde opties. De aannames die Black en Scholes maakten, zijn echter geen goede weerspiegeling van de realiteit. In de voorbije jaren zijn er dan ook heel wat uitbreidingen van en alternatieven voor het Black-Scholes model voorgesteld, zowel in één als in meerdere dimensies. Zo een multivariaat financieel model moet flexibel genoeg zijn om de gestileerde feiten van de log-returns van de onderliggende goederen te kunnen verklaren, maar tegelijkertijd werkbaar zijn zodat het model kan gekalibreerd worden op marktdata.

Van zodra een model is opgesteld, kan de eerlijke optieprijs bepaald worden door een verwachtingswaarde onder een risico-neutrale maat uit te rekenen. Echter, naarmate de modellen ingewikkelder worden, zal het vinden van een gesloten analytische uitdrukking voor die verwachtingswaarde vaak niet mogelijk zijn en moeten we gebruik maken van numerieke methoden om de eerlijke optieprijs te benaderen. Het vinden van snelle, nauwkeurige en stabiele numerieke methoden om de eerlijke optieprijs te benaderen is een centrale vraag in de computationele financiële wereld. Een populaire techniek is het numeriek oplossen van de tijdsafhankelijke PDE waaraan de optiewaarde moet voldoen aan de hand van eindige differentie methoden, waaronder ook de `Methode-der-Lijnen'. Wanneer het proces voor de onderliggende aandelen ook nog sprongen kan vertonen, zal de optieprijs beschreven worden door een tijdsafhankelijke partiële integro-differentiaalvergelijking (PIDE), die een niet-lokale integraal-term bevat, hetgeen een extra uitdaging vormt voor de numerieke methoden.

In deze thesis beschouwen we de twee centrale vragen binnen de financiële wiskunde die hierboven beschreven staan, namelijk het ontwikkelen en kalibreren van werkbare en flexibele multivariate financiële modellen en de waardering van rainbow opties onder multivariate modellen die sprongen vertonen.



Link: http://www.uantwerpen.be/wetenschappen