Representatietheorie

Studiegidsnr:1600WETRPT
Vakgebied:Wiskunde
Academiejaar:2019-2020
Semester:2e semester
Contacturen:60
Studiepunten:6
Studiebelasting:168
Contractrestrictie(s):Geen contractrestrictie
Instructietaal:Nederlands
Examen:2e semester
Lesgever(s)Lieven Le Bruyn

Deze cursusinformatie is bedoeld om de student te ondersteunen bij het verwerken van de leerstof

3. Inhoud *

Representatie theorie heeft tot doel alle mogelijke symmetrie-operaties te bepalen van een gegeven groep. Voor een eindige groep is deze informatie bevat in de zogenaamde character-tabel. We bewijzen de belangrijkste resultaten in character theorie, zoals volledige reduceerbaarheid van representaties, orthogonaliteit-relaties voor characters, en Frobenius reciprociteit voor inductie en restrictie ten opzichte van deelgroepen. Verder leren we groep-theoretische informatie te halen uit de character-tabel, zoals het bepalen van alle mogelijke normaaldelers van de groep. 

 

In het classificatie project van de eindige simpele groepen speelde character-theorie een doorslaggevende rol. Zo bewijzen we de stelling van Burnside die stelt dat de orde van een niet-cyclische simpele groep tenminste 3 priemdelers moet hebben en de stelling van Brauer-Fowler die het startpunt voor de classificatie betekende. We geven een inleiding tot sporadische simpele groepen en 'moonshine', dat verrassende verbanden geeft tussen representatie theorie en getaltheorie.

 

In het laatste deel van de cursus behandelen we de representaties van enkele compacte Lie-groepen die optreden als de ijk-groepen van  fundamentele krachten in de fysica (electro-magnetisme, zwakke- en sterke kernkracht). Als toepassing geven we het standaard-model van elementaire deeltjes in de fysica en een voorbeeld van een GUT (grand unified theory) die tracht de elementaire deeltjes te bepalen op het moment van de big bang.