Abstract
Het project is over de studie van twee groepen die op natuurlijke wijze toegevoegd zijn aan een lichaam en die verschillende informatie over de arithmetiek van kwadratische vormen over het lichaam bevatten.
De ene is de quotiëntgroep van sommen van kwadraten verschillend van nul modulo de deelgroep van de sommen van twee kwadraten, de andere is het zo genoemde Kaplansky radikaal.
Deze twee groepen worden bestudeerd in de context van arithmetische meetkunde, namelijk voor functielichamen van arithmetische oppervlakten over een volledige discrete valuatiering.
Klassieke reductie theorie van algebraïsche krommen brengt deze vragen in verband met de studie van de speciale vezel van de arithmetische oppervlakte, een algebraïsche kromme over het residue lichaam.
Deze kromme is samenhangend, en de analyse van de genera van zijn irreducibele componenten en van de intersecties van deze componenten brengt onze vraagstellingen (over de twee specifieke groepen) in verband met een combinatorisch probleem over de toegevoegde intersectiegraaf.
De doelstelling van het doctoraatsprojecet van Gonzalo Manzano Flores in deze context is om interessante voorbeelden van krommen te construeren die aantonen hoe groot deze twee groepen maximaal kunnen zijn onder voorwaarden aan de genus van het functielichaam.
We zijn op zoek naar dergelijke voorbeelden over specifieke discreet gevalueerde lichamen, namelijk de lichamen van Laurent reeksen in een veranderlijke over de reële en de complexe getallen, R((t)) en C((t)).
De kandidaat heeft resultaten bereikt over de eerste groep (sommen van kwadraten modulo sommen van twee kwadraten) in het geval van hyperelliptische krommen over R((t)).
Deze voorbeelden tonen aan dat de bovengrens voor de grotte van de groep die bereikt werd in Becher, Van Geel, Sums of squares in function fields of hyperelliptic curves. Math. Z. 261 (2009): 829–844, zo goed mogelijk is in het geval van het functielichaam van een hyperelliptische kromme van iedere even graad met een nietreël functielichaam.
Aan de andere kant heeft Gonzalo Manzano Flores kunnen tonen dat deze grens licht kan worden verbeterd in het geval van een reël functielichaam, en dat verder de verebeterde grens dan optimaal is.
De kandidaat is op dit moment bezig met het opschrijven van deze resultaten, die een substantieel deel van zijn thesis zullen uitmaken.
Aanvullend aan dit thema zijn we in 2019 begonnen om over het Kaplansky radikaal van functielichamen van arithmetische oppervlakten te werken, en we hebben eerste resltaten kunnen bereiken.
Het Kaplansky radikaal werd ingevoerd in 1970's door C. Cordes om zekere resultaten uit de theorie van kwadratische vormen te veralgemenen door deze groep te substitueren voor de groep van kwadraten.
In de laaste twee decades werder er een reeks van diepe resultaten over lokaal-globaal principes in de theorie van kwadratische vormen over functielichamen van arithmetische oppervlakten getoond, die vaak met uitzondering van kwadratische vormen van dimensie 2 moeten worden geformuleerd.
In Becher, Leep, The Kaplansky radical of a quadratic field extension, Journal of Pure and Applied Algebra 218 (2014), 1577-1582 werd er getoond dat het falen van het lokaal-globaal principe in dimensie 2 in deze gevallen onmiddellijk door het Kaplansky radikaal van het overeenkommende functielichaam kan worden beschreven.
De doelstelling van dit project met Gonzalo Manzano Flores en zijn promotor aan USACH, prof. David Grimm, tijdens de fundingperiode zal zijn om deze opmerking door een reeks van generieke voorbeelden te steunen, in het bijzonder met hyperelliptische krommen over C((t)).
Deze resultaten samen met de resultaten over sommen van kwadraten zullen tijdens het academiejaar 2020/21lijden tot het afsluiten van het doctoraat van Gonzalo Manzano Flores in overeenstemming met de dubbeldoctoraatsovereenkomst tussen USACH en UA, met mezelf en met prof. David Grimm als promotoren.
Onderzoeker(s)
Onderzoeksgroep(en)
Project type(s)