Onderzoek Karim Johannes Becher

Abstract

Een ring is in de wiskunde een collectie objecten die men kan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen op een gelijkaardige manier als we dat met getallen doen. Zo vormt bijvoorbeeld de collectie gehele getallen (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) een ring, aangezien deze kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd en afgetrokken om nieuwe gehele getallen te bekomen. In ons onderzoek willen we technieken bestuderen die mogelijks verbanden zullen blootleggen tussen de rekencomplexiteit van verschillende ringen. Dit is op zichzelf een interessante vraagstelling, maar ze wordt ook verder gemotiveerd door onderzoek naar welk soort wiskundige problemen kunnen worden 'geautomatiseerd', in de zin dat men een computerprogramma zou kunnen schrijven om ze op te lossen. Een berucht voorbeeld van zo een probleem werd in een bepaalde vorm geformuleerd door David Hilbert in 1900: "Vind een programma dat je vertelt of een gegeven vergelijking een oplossing heeft of niet." Het blijkt dat hoe een programma dat dit soort vragen oplost - en zelfs of het überhaupt bestaat - niet enkel afhangt van het soort vergelijkingen dat men beschouwt, maar ook van wat voor oplossingen men toelaat: enkel gehele getallen? Ook breuken? En irrationale getallen zoals pi? Voor gehele getallen weet men ondertussen dat zo een programma niet kan bestaan; het probleem kan niet worden geautomatiseerd. Anderzijds is er wél een programma bekend indien men alle reële getallen toelaat. De vraag blijft echter onopgelost indien men precies breuken als oplossingen toelaat. De technieken die we tijdens ons onderzoek zullen bestuderen zouden ons hier dichter bij een antwoord kunnen brengen, bijvoorbeeld door de complexiteit van de gehele getallen in verband te brengen met die van de breuken.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes
• Mandaathouder: Daans Nicolas

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Het project is over de studie van twee groepen die op natuurlijke wijze toegevoegd zijn aan een lichaam en die verschillende informatie over de arithmetiek van kwadratische vormen over het lichaam bevatten. De ene is de quotiëntgroep van sommen van kwadraten verschillend van nul modulo de deelgroep van de sommen van twee kwadraten, de andere is het zo genoemde Kaplansky radikaal. Deze twee groepen worden bestudeerd in de context van arithmetische meetkunde, namelijk voor functielichamen van arithmetische oppervlakten over een volledige discrete valuatiering. Klassieke reductie theorie van algebraïsche krommen brengt deze vragen in verband met de studie van de speciale vezel van de arithmetische oppervlakte, een algebraïsche kromme over het residue lichaam. Deze kromme is samenhangend, en de analyse van de genera van zijn irreducibele componenten en van de intersecties van deze componenten brengt onze vraagstellingen (over de twee specifieke groepen) in verband met een combinatorisch probleem over de toegevoegde intersectiegraaf. De doelstelling van het doctoraatsprojecet van Gonzalo Manzano Flores in deze context is om interessante voorbeelden van krommen te construeren die aantonen hoe groot deze twee groepen maximaal kunnen zijn onder voorwaarden aan de genus van het functielichaam. We zijn op zoek naar dergelijke voorbeelden over specifieke discreet gevalueerde lichamen, namelijk de lichamen van Laurent reeksen in een veranderlijke over de reële en de complexe getallen, R((t)) en C((t)). De kandidaat heeft resultaten bereikt over de eerste groep (sommen van kwadraten modulo sommen van twee kwadraten) in het geval van hyperelliptische krommen over R((t)). Deze voorbeelden tonen aan dat de bovengrens voor de grotte van de groep die bereikt werd in Becher, Van Geel, Sums of squares in function fields of hyperelliptic curves. Math. Z. 261 (2009): 829–844, zo goed mogelijk is in het geval van het functielichaam van een hyperelliptische kromme van iedere even graad met een nietreël functielichaam. Aan de andere kant heeft Gonzalo Manzano Flores kunnen tonen dat deze grens licht kan worden verbeterd in het geval van een reël functielichaam, en dat verder de verebeterde grens dan optimaal is. De kandidaat is op dit moment bezig met het opschrijven van deze resultaten, die een substantieel deel van zijn thesis zullen uitmaken. Aanvullend aan dit thema zijn we in 2019 begonnen om over het Kaplansky radikaal van functielichamen van arithmetische oppervlakten te werken, en we hebben eerste resltaten kunnen bereiken. Het Kaplansky radikaal werd ingevoerd in 1970's door C. Cordes om zekere resultaten uit de theorie van kwadratische vormen te veralgemenen door deze groep te substitueren voor de groep van kwadraten. In de laaste twee decades werder er een reeks van diepe resultaten over lokaal-globaal principes in de theorie van kwadratische vormen over functielichamen van arithmetische oppervlakten getoond, die vaak met uitzondering van kwadratische vormen van dimensie 2 moeten worden geformuleerd. In Becher, Leep, The Kaplansky radical of a quadratic field extension, Journal of Pure and Applied Algebra 218 (2014), 1577-1582 werd er getoond dat het falen van het lokaal-globaal principe in dimensie 2 in deze gevallen onmiddellijk door het Kaplansky radikaal van het overeenkommende functielichaam kan worden beschreven. De doelstelling van dit project met Gonzalo Manzano Flores en zijn promotor aan USACH, prof. David Grimm, tijdens de fundingperiode zal zijn om deze opmerking door een reeks van generieke voorbeelden te steunen, in het bijzonder met hyperelliptische krommen over C((t)). Deze resultaten samen met de resultaten over sommen van kwadraten zullen tijdens het academiejaar 2020/21lijden tot het afsluiten van het doctoraat van Gonzalo Manzano Flores in overeenstemming met de dubbeldoctoraatsovereenkomst tussen USACH en UA, met mezelf en met prof. David Grimm als promotoren.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes
• Mandaathouder: Manzano Flores Gonzalo Esteban

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Een ring is in de wiskunde een collectie objecten die men kan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen op een gelijkaardige manier als we dat met getallen doen. Zo vormt bijvoorbeeld de collectie gehele getallen (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) een ring, aangezien deze kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd en afgetrokken om nieuwe gehele getallen te bekomen. In ons onderzoek willen we technieken bestuderen die mogelijks verbanden zullen blootleggen tussen de rekencomplexiteit van verschillende ringen. Dit is op zichzelf een interessante vraagstelling, maar ze wordt ook verder gemotiveerd door onderzoek naar welk soort wiskundige problemen kunnen worden 'geautomatiseerd', in de zin dat men een computerprogramma zou kunnen schrijven om ze op te lossen. Een berucht voorbeeld van zo een probleem werd in een bepaalde vorm geformuleerd door David Hilbert in 1900: "Vind een programma dat je vertelt of een gegeven vergelijking een oplossing heeft of niet." Het blijkt dat hoe een programma dat dit soort vragen oplost - en zelfs of het überhaupt bestaat - niet enkel afhangt van het soort vergelijkingen dat men beschouwt, maar ook van wat voor oplossingen men toelaat: enkel gehele getallen? Ook breuken? En irrationale getallen zoals pi? Voor gehele getallen weet men ondertussen dat zo een programma niet kan bestaan; het probleem kan niet worden geautomatiseerd. Anderzijds is er wél een programma bekend indien men alle reële getallen toelaat. De vraag blijft echter onopgelost indien men precies breuken als oplossingen toelaat. De technieken die we tijdens ons onderzoek zullen bestuderen zouden ons hier dichter bij een antwoord kunnen brengen, bijvoorbeeld door de complexiteit van de gehele getallen in verband te brengen met die van de breuken.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes
• Mandaathouder: Daans Nicolas

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Kwadratische vormen zijn homogene veeltermen van graad 2. Ze spelen een belangrijke rol in het modern onderzoek als een speciaal geval van verschillende wiskundige structuren. Hun expliciete aspecten maken hen gepast voor toepassingen. In de jaren 30 clasificeerde Ernst Witt de kwadratische vormen over een willekeurig lichaam (een algebraïsche structuur zoals de rationale of de reële getallen) door het invoeren van de zogenaamde Wittring. In dezelfde periode trok man een gelijkaardig verband voor centraal simpele algebra's, die kunnen worden geclassifceerd met behulp van de Brauergroep. Een verband tussen de twee algebraïsche structuren wordt gegeven door het associëren van een kwadratische vorm met zijn Cliffordalgebra. De Stelling van Merkurjev van 1981 beschrijft dit verband. In theorie karakteriseert het wanneer twee vormen dezelfde Cliffordalgebra hebben. De eerste doelstelling van het project is dit probleem in verband te brengen met het aantal van voortbrengers van de derde macht van het fundamentele ideaal die nodig zijn om een kwadratische vorm te respresenteren. Ten tweede trachten wij te zoeken naar een explicieter bewijs van de Stelling van Merkurjev. Ten derde willen wij gebruik maken van het feit dat de door de Stelling van Merkurjev beschreven algebra's involuties hebben. Verder willen wij de isotropie (bestaan van een oplossing) voor paren van kwadratische vormen bestuderen in verband met kwadratische vormen over een rationaal functielichaam. Tenslotte willen we de eerste twee problemen ook uit het perspectief van de axiomatische theorie van Wittringen aanpakken.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes
• Mandaathouder: Veraa Sten

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Dit project betreft fundamenteel kennisgrensverleggend onderzoek gefinancierd door het Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek-Vlaanderen. Het project werd betoelaagd na selectie door het bevoegde FWO-expertpanel.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Dit project kadert in een onderzoeksopdracht tussen enerzijds UA en anderzijds de opdrachtgever. UA levert aan de opdrachtgever de onderzoeksresultaten genoemd in de titel van het project onder de voorwaarden zoals vastgelegd in voorliggend contract.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Drie verschillende aanpakken gaven recent aanleiding tot de oplossing van een reeds lang onopgelost probleem in algebra, met name, het bewijs dat de u-invariant van het functielichaam van een kromme over een p-adisch getallenlichaam gelijk is aan acht. De u-invariant van een niet-reëel lichaam is het kleinste natuurlijke getal n zodat elke kwadratische vorm in meer dan n variabelen over het lichaam een niet-triviaal nulpunt heeft. De verschillende aanpakken zijn: (i) een combinatorische aanpak die een veel sterker resultaat geeft op systemen van kwadratische vormen zelfs over eindig voortgebrachte uitbreidingen over elk lokaal getallenlichaam; (ii) een aanpak die Galois cohomologie en de constructie van elementen daarin met een gegeven ramificatie gebruikt; (iii) een aanpak die we 'Field Patching' noemen en die aanleiding geeft tot nieuwe lokaal-globaal principes voor isotropie van kwadratische vormen over functielichamen van krommen over een volledig discreet gevalueerd lichaam. Elk van deze aanpakken geeft aanleiding tot meer algemene resulaten die tot nu toe niet behaald kunnen worden door de andere twee methoden, bijvoorbeeld (ii) en (iii) zijn momenteel niet van toepassing als p=2. Het doctoraatsonderzoeksproject streeft naar een vergelijkende analyse van de drie methoden en een beter begrip van hun sterktes en limieten. Als toepassing wordt verwacht dat zowel de u-invariant als aanverwante lichaamsinvarianten voor andere lichamen op deze manier kunnen bepaald worden.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Becher Karim Johannes
• Mandaathouder: Gupta Parul

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject