Lieven Le Bruyn emeritus met opdracht

Onderzoek Lieven Le Bruyn

Onderzoeksgroep

Expertise

Niet-commutatieve meetkunde en representatie theorie.

Topossen van monoïde-acties en niet-commutatieve meetkunde. 01/10/2020 - 30/09/2023

Abstract

Aan elke monoïde kunnen we een topos associëren, namelijk de topos van verzamelingen met een rechtse actie van deze monoïde. Binnen de filosofie van topossen als veralgemeende topologische ruimten, kunnen we nu vele meetkundige invarianten associëren aan de monoïde. Topossen hebben bijvoorbeeld punten, en voor topossen geassocieerd aan monoïden kan het uitrekenen van die punten tot verbazende resultaten leiden. Een eenvoudig voorbeeld is de monoïde van natuurlijke getallen verschillend van nul onder vermenigvuldiging. Alain Connes en Caterina Consani hebben aangetoond dat de punten van de geassocieerde topos (op isomorfie na) gegeven worden door een dubbel quotiënt waarin de eindige adeles voorkomen. Dan construeerden ze een structuurschoof op de topos, en ze toonden aan dat de combinatie van de topos en de structuurschoof, hun zogenaamde Arithmetic Site, gerelateerd is aan de aanpak van de Riemannhypothese via niet-commutatieve meetkunde. In dit onderzoeksproject zullen we een systematische studie ondernemen van topossen geassocieerd aan monoïden, vanuit een meetkundig perspectief. In bepaalde gevallen zullen we structuurschoven construeren op deze topossen, wat zal leiden tot veralgemeende Connes-Consani arithmetic sites.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Een algebraïsche kijk op Connes--Consani arithmetische topossen. 01/10/2019 - 30/09/2020

Abstract

De Riemannhypothese zou een zeer precieze schatting geven van het aantal priemgetallen kleiner dan een zeker getal N. Veel wiskundige problemen zijn afhankelijk van dit soort schatting, aangezien priemgetallen aan de basis liggen van getaltheorie. Daarom wordt de Riemannhypothese gezien als één van de belangrijkste onopgeloste problemen in de wiskunde. André Weil, een beroemde wiskundige (en broer van filosoof Simone Weil) heeft in de jaren 40 een variant bewezen van de Riemannhypothese voor een specifieke klasse van veeltermen. Zijn bewijs was gerelateerd aan de meetkunde, in het bijzonder de studie van krommen. In een recente reeks papers hebben Alain Connes en Caterina Consani een strategie beschreven voor het oplossen van de Riemannhypothese, door hun 'Arithmetic Site' in te voeren en te bestuderen. Dit is een nieuw meetkundig model dat de verdeling van de priemgetallen beschrijft, ontworpen met behulp van hedendaagse wiskundige technieken. Dit model heeft eigenschappen die lijken op die van een kromme in de meetkunde. De hoop is dus dat uiteindelijk het bewijs van Weil vertaald kan worden naar een bewijs voor de originele Riemannhypothese. De tactiek van Connes en Consani baseert zich op de zogenaamde tropische meetkunde. Dit project focust zich daarentegen op de algebraïsche kant van het verhaal. In het bijzonder willen we hun werk relateren aan de studie van niet-commutatieve algebra's, een onderwerp waarvoor de Universiteit Antwerpen bekendstaat.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Azumaya-representatievariëteiten en -stacks 01/10/2017 - 30/09/2019

Abstract

Tegenwoordig bestudeert meetkunde ingewikkelder vormen dan rechten, driehoeken enz. . Deze nieuwe vormen hebben meestal meer dan 3 dimensies, zijn gekromd en kunnen zeer gecompliceerd worden. Deze vormen worden gebruikt in fysica, controle theorie of ingenieurswetenschappen die allen ook sterk verandert zijn en complexere meetkundige technieken nodig hebben. In het huidige project willen we nog meer algemene meetkundige vormen invoeren en bestuderen. Hiervoor hebben we concepten uit de algebra nodig, zoals coordinaten en vergelijkingen, maar complexer en meer abstract. Meer precies zullen we 'ringen' bestuderen, dat zijn collecties van waarden die je kan optellen en vermenigvuldigen. Een zeer speciale soort van ringen zijn 'Azumaya algebras'. We moeten specifieke vragen beantwoorden over deze klasse van algebras om een beter inzicht te krijgen in de bijhorende meetkunde. De studie van Azumaya algebras (en meer algemene ringen) is op zichzelf interessant omdat ze voorkomen in diverse gebieden in de wiskunde en er nog vele onopgeloste vragen over zijn. Bovendien heeft het voorgestelde onderzoek mogelijke implicaties in fysica, in het bijzonder in string theorie. Voor een string theorist zijn de kleinst mogelijke bouwstenen vibrerende strings. Eindpunten van deze strings worden D-branes genoemd en het beschrijven van de bijhorende meetkunde, en het begrijpen van processen zoals Higg-sing en de-Higg-sing (of symmetrie breking) van D-branes, is het hoofddoel van dit onderzoek.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

De constructie van superpotentiaal algebra's uit eindige groep acties. 01/10/2017 - 30/09/2018

Abstract

Geassocieerd aan een superpotentiaal \Phi is een associatieve algebra J_{Q,\Phi} door cyclische afgeleiden te nemen van \Phi. Als C\Phi een 1-dimensionale-deelrepresentatie is van CQ/[CQ,CQ], dan werkt G op de algebra J_{Q,\Phi} als algebra automorfismen. Het doel van dit project is om J_{Q,\Phi} te bestuderen met het oog op het vinden van Cayley-gladde orders (dit zijn algebra's eindig over hun centrum met een gladde spoorbewarende representatievariëteit) waarop G werkt. Het startpunt zou zijn om een superpotentiaal \Phi_0 te nemen zodat J_{Q,\Phi_0} PI is, andere superpotentialen te nemen die degenereren naar \Phi met de bijkomende eigenschap dat C \Phi \cong C \Phi_0 als G-representatie en deze te bestuderen.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Azumaya-representatievariëteiten en -stacks. 01/10/2015 - 30/09/2017

Abstract

Tegenwoordig bestudeert meetkunde ingewikkelder vormen dan rechten, driehoeken enz. . Deze nieuwe vormen hebben meestal meer dan 3 dimensies, zijn gekromd en kunnen zeer gecompliceerd worden. Deze vormen worden gebruikt in fysica, controle theorie of ingenieurswetenschappen die allen ook sterk verandert zijn en complexere meetkundige technieken nodig hebben. In het huidige project willen we nog meer algemene meetkundige vormen invoeren en bestuderen. Hiervoor hebben we concepten uit de algebra nodig, zoals coordinaten en vergelijkingen, maar complexer en meer abstract. Meer precies zullen we 'ringen' bestuderen, dat zijn collecties van waarden die je kan optellen en vermenigvuldigen. Een zeer speciale soort van ringen zijn 'Azumaya algebras'. We moeten specifieke vragen beantwoorden over deze klasse van algebras om een beter inzicht te krijgen in de bijhorende meetkunde. De studie van Azumaya algebras (en meer algemene ringen) is op zichzelf interessant omdat ze voorkomen in diverse gebieden in de wiskunde en er nog vele onopgeloste vragen over zijn. Bovendien heeft het voorgestelde onderzoek mogelijke implicaties in fysica, in het bijzonder in string theorie. Voor een string theorist zijn de kleinst mogelijke bouwstenen vibrerende strings. Eindpunten van deze strings worden D-branes genoemd en het beschrijven van de bijhorende meetkunde, en het begrijpen van processen zoals Higg-sing en de-Higg-sing (of symmetrie breking) van D-branes, is het hoofddoel van dit onderzoek.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Meetkundige en algebraische aspecten van representatie- en invariantentheorie van quivers met relaties en andere combinatorische objecten. 01/10/2006 - 31/12/2008

Abstract

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Cayley-Hamilton Algebras in Niet-commutatieve Meetkunde. 01/10/2004 - 30/09/2007

Abstract

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Quiversingulariteiten en hun toepassingen in algebraïsche meetkunde, invariantentheorie en theoretische fysica. 01/10/2003 - 30/09/2006

Abstract

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Niet-commutatieve meetkunde en commutatieve singulariteiten. 01/10/2003 - 30/09/2005

Abstract

In ons werk gaan we op zoek naar methoden voor het desingulariseren van quotientvarieteiten van de variëteit der n-dimensionale representaties van een algebra A, onder de natuurlijke actie van GLn. Vooral in het geval van geïsoleerde singulariteiten verwachten we een vooruitgang te boeken.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Classificatie van gladde niet-commutatieve varieteiten. 01/10/2000 - 30/09/2005

Abstract

Rationaliteitsprobleem voor quotient varieteiten onder PGLn-aktie. Verband tussen ringtheoretische eigenschappen van Sklyanin algebras en arithmetiek van elliptische krommen.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

Project type(s)

  • Onderzoeksproject

Classificatie van gladde niet-commutatieve varieteiten. 01/10/1997 - 30/09/2000

Abstract

Rationaliteitsprobleem voor quotient varieteiten onder PGLn-aktie. Verband tussen ringtheoretische eigenschappen van Sklyanin algebras en arithmetiek van elliptische krommen.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)

    Project type(s)

    • Onderzoeksproject

    Fundamentele wiskunde. 01/01/1997 - 31/12/1997

    Abstract

    De bibliotheek is, in al zijn facetten, het laboratorium voor het onderzoek in de wiskunde, en zeker in de fundamentele wiskunde. Met het ons toegezegde krediet zal, met name door de aanschaf van bijkomende boeken het onderzoek in de algebra en analyse/stochastiek versterkt worden.

    Onderzoeker(s)

    Onderzoeksgroep(en)

      Project type(s)

      • Onderzoeksproject

      Meetkundige methoden in algebraïsche klassificatieproblemen. 01/10/1996 - 31/12/1997

      Abstract

      Methoden uit de invarianten theorie worden toegepast in de klassificatie van eindig dimensionale algebras, Hopf algebras en Lie stacks.

      Onderzoeker(s)

      Onderzoeksgroep(en)

        Project type(s)

        • Onderzoeksproject

        Gekwantiseerde algebra's, gewogen modules en afbeeldingen. 30/09/1994 - 31/12/1996

        Abstract

        Bepaalde klassen quantum-algebras worden samen met hun representaties en bijhorende niet-kommunatieve meetkunde bestudeerd. De studie van bijzondere modulen speelt hierin een belangrijke rol; er wordt naar gestreeft de theorie in het kader van vlecht-kategoriÙn te behandelen.

        Onderzoeker(s)

        Onderzoeksgroep(en)

          Project type(s)

          • Onderzoeksproject

          Grafische bestudering van quantum ruimten. 01/01/1993 - 31/12/1993

          Abstract

          Quantum deformaties van de omhullende Lie algebra van SU (2) leiden tot niet-commutatieve projectieve 3-dimensionale ruimten. Hiervan bestuderen we de lokale structuur mbv grafische methoden ge'mplementeerd in "Mathematica".

          Onderzoeker(s)

          Onderzoeksgroep(en)

            Project type(s)

            • Onderzoeksproject

            Hopf algebra akties en hun invarianten 30/09/1989 - 29/09/1992

            Abstract

            De theorie van de Hopf algebra akties op algebra uitbreidingen kan aanzien worden als veralgemening van klassieke Galois theorie. De inductie en coinductie funktoren vanuit de invariantenring worden bestudeerd.

            Onderzoeker(s)

            Onderzoeksgroep(en)

              Project type(s)

              • Onderzoeksproject

              Meetkunde van matrixinvarianten en arithmetische meetkunde 30/09/1986 - 30/09/1997

              Abstract

              Rationaliteitsprobleem voor quotient varieteiten onder PGLn-aktie. Verband tussen ringtheoretische eigenschappen van Sklyanin algebras en arithmetiek van elliptische krommen.

              Onderzoeker(s)

              Onderzoeksgroep(en)

                Project type(s)

                • Onderzoeksproject