Onderzoeksgroep

Fundamentele Wiskunde

Rigiditeit en behoudswetten voor Hamiltoniaanse partiële differentiaalvergelijkingen in Hyperkähler Floertheorie. 01/10/2017 - 30/09/2021

Abstract

Hamiltoniaanse systemen, zo genoemd naar de Iers wiskundige, natuurkundige en astronoom W. R. Hamilton (1805-1875), vormen een belangrijke deelklasse van dynamische systemen, omwille de aanwezigheid van enkele behoudswetten en wegens hun rigiditeitskenmerken. Het n-lichamenvraagstuk ('de beweging van de planeten rond de zon') is een welbekend klassiek voorbeeld. Hamiltoniaanse systemen komen in velerlei vormen voor binnen de wiskunde, de fysica, de scheikunde, de biologie en de ingenieurswetenschappen. Klassieke Hamiltoniaanse systemen formuleert men als gewone differentiaalvergelijkingen op eindigdimensionale ruimtes. Daarnaast bestaan er tevens vergelijkingen die men ook als Hamiltoniaans systemen kan formuleren, maar dan op oneindigdimensionale ruimtes. Dergelijke systemen worden Hamiltoniaanse partiële differentaalvergelijkingen genoemd: De Korteweg-de Vries vergelijking, de Sine-Gordon vergelijking, de nietlineaire Schrödinger vergelijking zijn maar enkele voorbeelden. Dit project start met een `drieholomorfe' Diracachtige vergelijking op een zogenaamde hyperkähler variëteit en transformeert deze in een Hamiltoniaanse partiële differentiaalvergelijking op de oneindigdimensionale loop space van de variëteit. We verwachten dat we voor deze nieuwe vergelijking de volgende kenmerken kunnen aantonen: behoudswetten, integrabiliteitseigenschappen ('extra symmetrieën'), aspecten van moderne symplectische meetkunde (zoals non-squeezing eigenschappen, symplectische capaciteiten, etc) en schattingen van het aantal periodieke oplossingen (een 'oneindigdimensionale Arnold conjecture'). Tot op heden hebben slechts drie auteurs Hamiltoniaanse PDEs met moderne symplectische methodes bestudeerd. Hamiltoniaanse PDEs met een hyperkählerse achtergrond die symplectische kenmerken bezitten, zoals in dit project, werden echter nog nooit onderzocht. Onze resultaten kunnen bovendien ook interessant zijn voor fysici, gezien de link met de Cauchy-Riemann-Fueter vergelijking van het supersymmetrisch sigma model.

Onderzoeker(s)

Onderzoeksgroep(en)